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数学に関する記事を書きます。

代数的閉体は無限集合

命題

$K$ が代数的閉体ならば、$K$ は無限集合です。

証明 命題の対偶の「$K$ が有限集合ならば $K$ は代数的閉体ではない」を証明します。 $K$ を有限集合とすると、$K$ の元の総数は、ある自然数 $n$ となるので、$K=\{a_1,a_2,\dots,a_n\}$ と表すことができます。そこで、全ての $K$ の元を根にもつ1変数多項式 $$f(x)=(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)$$

を考えると、$f(x)\in K[x]$ から $g(x)=f(x)+1\in K[x]$ ですが、$g(x)$ にどの $a_i\in K$ を代入しても $g(a_i)=1$ となってしまいます。よって、$K[x]$ において $K$ の元を根に持たない多項式 $g(x)$ が存在するため、$K$ は代数的閉体ではありません。□